Размытие по гауссу — gaussian blur

Пример матрицы Гаусса

Эта матрица создаётся путем выборки ядра фильтра Гаусса (с σ = 0,84089642) в средних точках каждого пикселя с последующей нормализацией. Центральный элемент (4,4) имеет наибольшее значение, остальные элементы симметрично уменьшаются по мере увеличения расстояния от центра.

0,000000670,000022920,000191170,000387710,000191170,000022920,000000670,000022920,000786330,006559650,013303730,006559650,000786330,000022920,000191170,006559650,054721570,110981640,054721570,006559650,000191170,000387710,013303730,110981640,225083520,110981640,013303730,000387710,000191170,006559650,054721570,110981640,054721570,006559650,000191170,000022920,000786330,006559650,013303730,006559650,000786330,000022920,000000670,000022920,000191170,000387710,000191170,000022920,00000067{\displaystyle {\begin{bmatrix}0{,}00000067&0{,}00002292&{\textbf {0,00019117}}&0{,}00038771&{\textbf {0,00019117}}&0{,}00002292&0{,}00000067\\0{,}00002292&0{,}00078633&0{,}00655965&0{,}01330373&0{,}00655965&0{,}00078633&0{,}00002292\\{\textbf {0,00019117}}&0{,}00655965&0{,}05472157&0{,}11098164&0{,}05472157&0{,}00655965&{\textbf {0,00019117}}\\0{,}00038771&0{,}01330373&0{,}11098164&{\textbf {0,22508352}}&0{,}11098164&0{,}01330373&0{,}00038771\\{\textbf {0,00019117}}&0{,}00655965&0{,}05472157&0{,}11098164&0{,}05472157&0{,}00655965&{\textbf {0,00019117}}\\0{,}00002292&0{,}00078633&0{,}00655965&0{,}01330373&0{,}00655965&0{,}00078633&0{,}00002292\\0{,}00000067&0{,}00002292&{\textbf {0,00019117}}&0{,}00038771&{\textbf {0,00019117}}&0{,}00002292&0{,}00000067\end{bmatrix}}}

Элемент 0,22508352 (центральный) в 1177 раз больше, чем 0,00019117, который находится сразу за пределами 3σ.

Заметки

1. ^ Svelto, стр. 153–5.
2. Siegman, стр. 642.
3. ^ вероятно, впервые был рассмотрен Губау и Шверингом (1961).
4. Svelto, стр. 158.
5. Ярив Амнон; Да, Альберт Почи (2003). Оптические волны в кристаллах: распространение и управление лазерным излучением . J. Wiley & Sons. ISBN 0-471-43081-1. OCLC   .
6. ^
7. Сигман (1986) стр. 630.
8. ^
9. ^ Siegman, стр. 638–40.
10. Garg, стр. 165-168.
11. См. Siegman (1986) стр. 639. Уравнение. 29
12. ^ Svelto, стр. 148–149.
13. Exirifard, Qasem; Калф, Эрик; Карими, Эбрахим (2020), На пути к коммуникации в геометрии пространства-времени , arXiv :
14. Siegman (1986), P645, экв. 54
15. ^ Бандрес и Гутьеррес-Вега (2004)
16. Карими и др. al (2007)
17. Карими и др. al (2007)

Новые фильтры

В версии Photoshop CS6 «в полку» фильтров размывки прибыло. В подменю «Размытие» новички расположились особняком в самом верху, демонстративно оградившись от старых фильтров чертой. Этих «выскочек» зовут Field Blur/Размытие поля, Iris Blur/Размытие диафрагмы и Tilt-Shift/Наклон-смещение, и они, обладая особым интерфейсом, умеют создавать на фото реалистичную глубину резкости.

В отличие от старших «коллег» предыдущих версий (в том числе и Photoshop CS5), алгоритмы новых фильтров разработаны таким образом, чтобы позволить пользователю выполнять выборочную фокусировку, работая с элементами управления непосредственно на изображении.

Выполнение

Эффект размытия по Гауссу обычно создается путем свертки изображения с ядром КИХ значений Гаусса.

На практике лучше всего использовать свойство разделяемости размытия по Гауссу, разделив процесс на два прохода. На первом проходе используется одномерное ядро ​​для размытия изображения только в горизонтальном или вертикальном направлении. Во втором проходе то же одномерное ядро ​​используется для размытия в оставшемся направлении. Результирующий эффект такой же, как при свертке с двумерным ядром за один проход, но требует меньшего количества вычислений.

Дискретность обычно достигается путем дискретизации ядра фильтра Гаусса в дискретных точках, обычно в положениях, соответствующих средним точкам каждого пикселя. Это снижает вычислительные затраты, но для очень маленьких ядер фильтров точечная дискретизация функции Гаусса с очень небольшим количеством отсчетов приводит к большой ошибке.

В этих случаях точность поддерживается (с небольшими вычислительными затратами) путем интегрирования функции Гаусса по площади каждого пикселя.

При преобразовании непрерывных значений Гаусса в дискретные значения, необходимые для ядра, сумма значений будет отличаться от 1. Это вызовет затемнение или осветление изображения. Чтобы исправить это, значения можно нормализовать, разделив каждый член в ядре на сумму всех членов в ядре.

Эффективность FIR снижается для высоких сигм. Существуют альтернативы FIR-фильтру. К ним относятся очень быстрое размытие нескольких блоков , быстрый и точный детектор границ БИХ Дерише , « стековое размытие» на основе размытия блока и многое другое.

2.2 Гауссова фильтрация

Двумерный гауссовский фильтр является основой для построения гауссовского фильтра, а его функция распределения вероятностей имеет следующий вид:

Нормальное распределение представляет собой колоколообразную кривую: чем ближе к центру, тем больше значение, а чем дальше от центра, тем меньше значение. При вычислении результата сглаживания вам нужно использовать только «центральную точку» в качестве начала координат и присвоить веса другим точкам в соответствии с их положениями на нормальной кривой, чтобы получить средневзвешенное значение.

Гауссовское сглаживание очень эффективно при удалении гауссовского шума с изображения.

Процесс сглаживания по Гауссу:

Сначала определите весовую матрицу

Если предположить, что координаты центральной точки равны (0,0), тогда координаты 8 ближайших точек будут следующими:

И так далее для дальнейших пунктов.

Чтобы вычислить матрицу весов, необходимо установить значение σ. Предполагая, что σ = 1,5, весовая матрица с радиусом размытия 1 имеет следующий вид:

Сумма весов этих 9 точек равна 0,4787147. Если рассчитывается только средневзвешенное значение этих 9 точек, сумма их весов должна быть равна 1. Следовательно, вышеуказанные 9 значений необходимо разделить на 0,4787147, чтобы получить окончательную матрицу весов.

Вычислить размытие по Гауссу

С помощью весовой матрицы можно вычислить значение размытия по Гауссу.

Предполагая, что имеется 9 пикселей, значение серого (0-255) выглядит следующим образом:

Каждое очко умножается на соответствующее значение веса:

получить

Сложите эти 9 значений вместе, чтобы получить значение размытия по Гауссу в центральной точке.

Повторите этот процесс для всех точек, чтобы получить размытое по Гауссу изображение. Если исходное изображение является цветным, можно выполнить сглаживание по Гауссу по трем каналам RGB.

API：

параметр:

• src: входное изображение
• ksize: размер ядра гауссовой свертки,заметка: Ширина и высота ядра свертки должны быть нечетными числами и могут быть разными.
• sigmaX: стандартное отклонение в горизонтальном направлении
• sigmaY: стандартное отклонение в вертикальном направлении, значение по умолчанию — 0, что означает то же, что и sigmaX
• borderType: тип заливки границы

пример：

Пример гауссовой матрицы

Эта матрица выборки создается путем выборки ядра фильтра Гаусса (с σ = 0,84089642) в средних точках каждого пикселя с последующей нормализацией. Центральный элемент (в ) имеет наибольшее значение, симметрично уменьшаясь по мере увеличения расстояния от центра.

0,000000670,000022920,000191170,000387710,000191170,000022920,000000670,000022920,000786330,006559650,013303730,006559650,000786330,000022920,000191170,006559650,054721570,110981640,054721570,006559650,000191170,000387710,013303730,110981640,225083520,110981640,013303730,000387710,000191170,006559650,054721570,110981640,054721570,006559650,000191170,000022920,000786330,006559650,013303730,006559650,000786330,000022920,000000670,000022920,000191170,000387710,000191170,000022920,00000067{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0.00000067 & 0.00002292 & {\ textbf {0.00019117}} & 0.00038771 & {\ textbf {0.00019117}} & 0.00002292 & 0.00000067 \\ 0.00002292 & 0.00078633 & 0.00655965 & 0.01333373 & 0.00655965 & 0.0007 00002292 \\ {\ textbf {0.00019117}} & 0,00655965 & 0,05472157 & 0,11098164 & 0,05472157 & 0,00655965 & {\ textbf {0.00019117}} \\ 0,00038771 & 0,01330373 & 0,11098164 & {\ textbf {0,22501310351} & 0,1250,00010352} \= \ textbf {0.00019117}} & 0.00038771 & {\ textbf {0.00019117}} & 0.00002292 & 0.00000067 \ end {bmatrix}}}

Элемент 0,22508352 (центральный) в 1177 раз больше, чем 0,00019117, который находится сразу за пределами 3σ.

Дискретный гауссовский

Дискретная гауссова ядро (сплошная линия ), по сравнению с дискретизированным гауссова ядром (пунктир) для весовтзнак равно0,5,1,2,4.{\ displaystyle t = 0,5,1,2,4.}

Можно попросить дискретный аналог гауссианы; это необходимо в дискретных приложениях, особенно в цифровой обработке сигналов . Простым ответом является выборка непрерывного гауссова сигнала, в результате чего получается выборочное ядро ​​Гаусса . Однако эта дискретная функция не имеет дискретных аналогов свойств непрерывной функции и может приводить к нежелательным эффектам, как описано в реализации масштабного пространства изделия .

Альтернативный подход — использовать дискретное ядро ​​Гаусса :

Т(п,т)знак равное-тяп(т){\ Displaystyle Т (п, т) = е ^ {- т} I_ {п} (т)}

где обозначает модифицированные функции Бесселя целого порядка.
яп(т){\ Displaystyle I_ {п} (т)}

Это дискретный аналог непрерывного гауссиана в том смысле, что он является решением дискретного уравнения диффузии (дискретное пространство, непрерывное время), так же, как непрерывный гауссиан является решением уравнения непрерывной диффузии.

Обычное использование [ править ]

Это показывает, как сглаживание влияет на обнаружение краев. Чем больше сглаживание, тем меньше краев определяется

Обнаружение края править

Сглаживание по Гауссу обычно используется с обнаружением краев . Большинство алгоритмов обнаружения края чувствительны к шуму; 2-мерный лапласовский фильтр, построенный на основе дискретизации оператора Лапласа , очень чувствителен к шумной среде.

Использование фильтра размытия по Гауссу перед обнаружением краев направлено на снижение уровня шума в изображении, что улучшает результат следующего алгоритма обнаружения краев. Этот подход обычно называют лапласианом Гаусса или фильтрацией LoG.

Фотография править

Цифровые камеры нижнего уровня , в том числе многие камеры мобильных телефонов , обычно используют размытие по Гауссу, чтобы скрыть шум изображения, вызванный более высокой светочувствительностью ISO .

Размытие по Гауссу автоматически применяется как часть пост-обработки изображения фотографии программным обеспечением камеры, что приводит к необратимой потере деталей.

Ползунок размытия

Регулировать степень размытия вы можете более привычным для вас способом, то есть перемещать ползунок, находящийся на панели «Инструменты размытия». Булавка и ползунок привязаны друг к другу — изменив одно, автоматически меняется другое

Поэтому неважно, какой способ регулировки размытия вы будете использовать. Во втором способе, так же как и в первом, Фотошоп даёт возможность предварительного просмотра результата по мере передвижения ползунка вправо или влево

Вот так выглядит фотография в области предварительного просмотра после того, как я установил степень размытия 18 пикселей.

Волновое уравнение

Как частный случай электромагнитного излучения , гауссовы пучки (и гауссовы моды более высокого порядка, подробно описанные ниже) являются решениями волнового уравнения для электромагнитного поля в свободном пространстве или в однородной диэлектрической среде, полученного путем объединения уравнений Максвелла для ротора E и локон H , в результате чего:

∇2Uзнак равно1c2∂2U∂т2,{\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial t ^ {2}}},}

где c — скорость света в среде , а U может относиться к вектору электрического или магнитного поля, поскольку любое конкретное решение для одного определяет другое. Решение с гауссовым пучком справедливо только в параксиальном приближении, то есть когда распространение волны ограничено направлениями в пределах небольшого угла оси. Без ограничения общности примем это направление за направление + z, и в этом случае решение U в общем случае можно записать в терминах u, которое не имеет зависимости от времени и относительно плавно изменяется в пространстве, причем основное изменение пространственно соответствует волновому числу k в направлении z :

U(Икс,у,z,т)знак равноты(Икс,у,z)е-я(kz-ωт)Икс^.{\ Displaystyle U (х, у, z, т) = и (х, у, z) е ^ {- я (kz- \ omega t)} \, {\ шляпа {\ mathbf {x}}} \; .}

Используя эту форму вместе с параксиальным приближением, можно существенно пренебречь ∂ 2 u / ∂ z 2 . Поскольку решения уравнения электромагнитной волны справедливы только для поляризаций, которые ортогональны направлению распространения ( z ), мы без ограничения общности считали, что поляризация направлена ​​в направлении x, поэтому теперь мы решаем скалярное уравнение для u ( x , у , z ) .

Подстановка этого решения в приведенное выше волновое уравнение дает к скалярному волновому уравнению:

∂2ты∂Икс2+∂2ты∂у2знак равно2яk∂ты∂z.{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} = 2ik {\ frac {\ partial u} {\ partial z}}.}

Следует отметить , что в Поль Дирак «s координат светового конуса , волновое уравнение из новообращенных:
Икс±знак равно12(z±cт){\ displaystyle x ^ {\ pm} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (z \ pm ct)}∇2Uзнак равно1c2∂2U∂т2{\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial t ^ {2}}}}

∇2Uзнак равно2∂2U∂Икс-∂Икс+.{\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = 2 {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial x ^ {-} \ partial x ^ {+}}}.}

Итак, для волны в форме единицы получается точное уравнение
U(Икс,у,Икс+,Икс-)знак равноты(Икс,у,Икс+)еяkИкс-Икс^{\ Displaystyle U \ left (x, y, x ^ {+}, x ^ {-} \ right) = u \ left (x, y, x ^ {+} \ right) e ^ {ikx ^ {-} } \, {\ hat {\ mathbf {x}}} \;}

∂2ты∂Икс2+∂2ты∂у2знак равно2яk∂ты∂Икс+.{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} = 2ik {\ frac {\ partial u} {\ partial x ^ {+}}}.}

Таким образом, параксиальные решения оказываются точными в координатах светового конуса .

Гауссовы пучки любой перетяжки w удовлетворяют этому волновому уравнению; это легче всего проверить, выразив волну в точке z через комплексный параметр пучка q ( z ), как определено выше. Есть много других решений. Как решения линейной системы , любая комбинация решений (с использованием сложения или умножения на константу) также является решением. Как отмечалось выше, фундаментальный гауссиан сводит к минимуму произведение минимального размера пятна и расходимости в дальней зоне. При поиске параксиальных решений и, в частности, тех, которые описывали бы лазерное излучение, которое не находится в основной гауссовой моде, мы будем искать семейства решений с постепенно увеличивающимися произведениями их расходимостей и минимальных размеров пятна. Два важных ортогональных разложения этого типа — это моды Эрмита-Гаусса или Лагерра-Гаусса, соответствующие прямоугольной и круговой симметрии соответственно, как подробно описано в следующем разделе. В обоих случаях основной гауссов пучок, который мы рассматривали, является модой низшего порядка.

Частотное разложение в фотошопе

В этом уроке фотошоп Кузьмичев Алексей расскажет про частотное разложение в фотошопе. Суть этого метода заключается в том, что мы раскладываем кожу на несколько частот на нескольких слоях. На первом слое будет содержаться тон кожи, а на втором – все детали и дефекты. Таким образом, мы можем редактировать оба слоя не зависимо друг от друга, что очень удобно и позволяет в полной мере сохранить текстуру кожи и выровнять ее тон. Готовый результат урока представлен на скриншоте ниже.

Давайте рассмотрим как разложить кожу на частоты. Открываем фотографию, с которой будем работать.

Первым делом создаем две копии основного слоя. Нажимаем два раза комбинацию клавиш Ctrl+J. Верхнюю копию можно назвать Детали, а нижнюю давайте назовем Тон. Верхнюю копию можно пока что отключить, будем работать с нижней.

Переходим в Фильтр -> Размытие по Гауссу (Filter -> Blur -> Gaussian Blur).

При помощи данного фильтра мы разгладим тон кожи и немного ее выровняем. Необходимо подобрать такой радиус, чтобы основные детали были видны, но тем не менее кожа у нас выровнялась по максимуму. Обычно Радиус подбирается в диапазоне от 10 до 15, в зависимости от размера фотографии. В нашем примере оставим 12,7.

После это включаем обратно верхний слой Детали. Идем в меню Изображение -> Внешний канал (Image -> Apply Image).

В открывшемся окне выставляем:

• Слой – выбираем наш нижний слой Тон;
• Обязательно должна стоять галочка Инвертировать;
• Режим наложения выставляем Добавление (Additive);
• Непрозрачность 100%;
• Масштаб 2;
• Сдвиг 1.

Меняем этому слою режим наложения на Линейный свет (Linear Light).

Таким образом мы получаем исходную фотографию, состоящую уже из 2-х слоев, разложенную на частоты. Теперь эти 2 слоя можно объединить в отдельную группу. Выбираем эти два слоя через зажатую клавишу Ctrl и нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+G. Если попробовать выключить группу, а затем ее снова включить, то можно заметить, что на фотографии ничего не меняется. Но так как фотография сейчас разложена на частоты, то мы можем редактировать тон и детали отдельно друг от друга, что очень удобно.

Давайте начнем с тона. Будем выравнивать кожу. Делать это можно несколькими способами. Давайте, например, выберем инструмент Лассо и поставим ему в настройках на верхней панели инструмента растушевку 50 пикселей. Будем выделять те области, которые не выровнялись. Что касается нашей фотографии, то заметны небольшие пятна на лбу. Выделяем это место с помощью инструмента и дополнительно размываем через Размытие по Гауссу. Только в этом случае радиус можно увеличить до 50 пикселей.

Точно также продолжаем работать на других участках. Не забывайте их размывать. На подбородке можно немного уменьшить радиус размытия, чтобы остался блик.

Фотография на данном этапе выглядит следующим образом.

Ну и после того как мы выровняли тон кожи можно переходить к слою с деталями. Займемся устранением мелких дефектов на коже. Будем удалять их при помощи двух инструментов – Точечная восстанавливающая кисть (Spot Healing Brush Tool), либо просто Восстанавливающая кисть (Healing Brush Tool).

Давайте возьмем инструмент Восстанавливающая кисть и немного ее настроим. Поставим Угол в 45 градусов, а Форму на 72%.

Благодаря таким настройкам все изменения буду происходить незаметно и естественно. Области, где мы будем прорабатывать кисточкой, не будут так ярко бросаться в глаза

Также, очень важно в настройках кисти включить в настройке Образец – > Активный слой

Ну и теперь зажимаем клавишу Alt, чтобы взять образец кожи и начинаем устранять все дефекты.

Процесс этот не быстрый и результат будет полностью зависит от того, на сколько вы аккуратно проработаете все области. Также, вы можете использовать инструмент Точечная восстанавливающая кисть. Он работает немного попроще. Мы выделяем область, которую нам необходимо убрать и программа автоматически все делает сама. Поэтому используйте тот инструмент, с которым привыкли работать и который вам наиболее удобен.

Теперь давайте посмотрим на результат устранения дефектов на фотографии. Изображение до устранения:

Кожа стала более ровной и все дефекты по возможности удалены. Весь процесс рассмотрен не будет, потому что он достаточно долгий. Но хороший результат стоит потраченного времени.

Готовый результат представлен на скриншоте ниже.

Характеристики

Гауссовские функции возникают при составлении экспоненциальной функции с вогнутой квадратичной функцией :

ж(Икс)знак равноexp⁡(αИкс2+βИкс+γ){\ Displaystyle е (х) = \ ехр \ влево (\ альфа х ^ {2} + \ бета х + \ гамма \ вправо)}

где:

αзнак равно-0,5c2{\ Displaystyle \ альфа = -0,5 / с ^ {2}}

βзнак равнобc2{\ Displaystyle \ бета = б / с ^ {2}}

γзнак равно0,5(бревно⁡(а)-б2)c2{\ Displaystyle \ гамма = 0,5 \ влево (\ журнал (а) -b ^ {2} \ вправо) / с ^ {2}}

Таким образом, гауссовские функции — это те функции, логарифм которых является вогнутой квадратичной функцией.

Параметр c связан с полной шириной на полувысоте (FWHM) пика в соответствии с

FWЧАСMзнак равно22пер⁡2 c≈2,35482c.{\ displaystyle \ mathrm {FWHM} = 2 {\ sqrt {2 \ ln 2}} \ c \ приблизительно 2.35482c.}

Затем функция может быть выражена через FWHM, представленную w :

ж(Икс)знак равноае-4(пер⁡2)(Икс-б)2ш2{\ displaystyle f (x) = ae ^ {- 4 (\ ln 2) (xb) ^ {2} / w ^ {2}}}

В качестве альтернативы параметр c можно интерпретировать, говоря, что две точки перегиба функции находятся в x = b — c и x = b + c .

Полная ширина на десятой максимальной (FWTM) для гауссова может представлять интерес и

FWТMзнак равно22пер⁡10 c≈4,29193c.{\ displaystyle \ mathrm {FWTM} = 2 {\ sqrt {2 \ ln 10}} \ c \ приблизительно 4,29193c.}

Гауссовы функции аналитичны , и их предел при x → ∞ равен 0 (для указанного выше случая b = 0 ).

Гауссовы функции относятся к числу тех функций, которые являются элементарными, но не имеют элементарных первообразных ; интеграл от функции Гаусса является функцией ошибки . Тем не менее их несобственные интегралы по всей действительной прямой можно точно вычислить, используя интеграл Гаусса

∫-∞∞е-Икс2dИксзнак равноπ{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}}}

и получается

∫-∞∞ае-(Икс-б)2(2c2)dИксзнак равноаc⋅2π.{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} ae ^ {- (xb) ^ {2} / (2c ^ {2})} \, dx = ac \ cdot {\ sqrt {2 \ pi }}.}

Этот интеграл равен 1 тогда и только тогда , когда ( постоянная нормирующий ), и в этом случае гауссова является функцией плотности вероятности из нормально распределенной случайной величины с ожидаемым значением μ = б и дисперсия σ 2 = C 2 :
азнак равно1c2π{\ Displaystyle а = {\ tfrac {1} {с {\ sqrt {2 \ pi}}}}}

грамм(Икс)знак равно1σ2πexp⁡(-(Икс-μ)22σ2).{\ displaystyle g (x) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ exp \ left ({\ frac {- (x- \ mu) ^ {2}} { 2 \ sigma ^ {2}}} \ right).}

Эти гауссианы изображены на прилагаемом рисунке.

Нормализованные гауссовы кривые с математическим ожиданием μ и дисперсией σ 2 . Соответствующие параметры , Ь = μ и с = σ .азнак равно1σ2π{\ Displaystyle а = {\ tfrac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}}}

Гауссовы функции с центром в нуле минимизируют Фурье .

Произведение двух функций Гаусса является гауссовым, и свертки двух функций Гаусса является также гауссовым, с дисперсией , являющейся суммой исходных дисперсий: . Однако произведение двух гауссовских функций плотности вероятности (PDF), как правило, не является гауссовской PDF.
c2знак равноc12+c22{\ displaystyle c ^ {2} = c_ {1} ^ {2} + c_ {2} ^ {2}}

Принимая гауссовского функции с параметрами а = 1 , Ь = 0 и С даешь другую функцию Гаусса, с параметрами , Ь = 0 и . Так , в частности , гауссовы функции с Ь = 0 , и постоянно получают фиксированные с помощью преобразования Фурье (они являются собственными функциями преобразования Фурье с собственным значением 1). Физическая реализация — это : например, фотографический слайд , коэффициент пропускания которого имеет гауссовское изменение, также является гауссовой функцией.
c{\ displaystyle c}1c{\ displaystyle {\ frac {1} {c}}}cзнак равно1{\ displaystyle c = 1}

Тот факт, что функция Гаусса является собственной функцией непрерывного преобразования Фурье, позволяет нам вывести следующее интересное тождество из формулы суммирования Пуассона :

∑k∈Zexp⁡(-π⋅(kc)2)знак равноc⋅∑k∈Zexp⁡(-π⋅(kc)2).{\ Displaystyle \ сумма _ {к \ в \ mathbb {Z}} \ ехр \ влево (- \ пи \ cdot \ влево ({\ гидроразрыва {к} {с}} \ вправо) ^ {2} \ вправо) = c \ cdot \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} \ exp \ left (- \ pi \ cdot (kc) ^ {2} \ right).}

Фильтры увеличения резкости (Sharpen)

Эти фильтры увеличивают резкость изображения. Эта группа представлена всего 5 фильтрами.

Sharpen (Резкость).

Автоматически увеличивает резкость. Практически не используется в виду отсутствия настроек.

Sharpen Edges (Резкость по контуру).

Аналогичен фильтру Sharpen, но работает более тонко: увеличивает резкость контуров, а не всего изображения. Также не имеет настроек.

Sharpen More (Сильная резкость).

Тоже, что Sharpen, но сильнее в 2 раза.

Smart Sharpen (Умная резкость).

Один из самых полезных фильтров. Позволяет вручную настроить резкость:

Резкость регулируется двумя значениями – Amount и Radius. Также можно указать тип, по которому радиус будет размываться.

Опция Advanced открывает доступ к расширенным настройкам резкости в тенях и на свету.

Unsharp Mask

(Нерезкая маска). Ещё один отличный инструмент для повышения резкости. Параметры те же самые, что и у Smart Sharpen, только здесь можно ещё и указать порог (Threshold), выше которого значение резкости не поднимется. Это нужно для избавления от “перешарпленных” областей.

Фильтры эскиза в фотошопе (Sketch)

Довольно большая группа фильтров (14 штук), предназначенных для имитации различных эффектов. Настраиваются все эти фильтры точно также, как и фильтры групп Brush Strokes и Artistic, так что подробно на них останавливаться мы не станем, посмотрим лишь визуальный эффект от каждого фильтра:

Такая же ситуация и с фильтрами группы Stylize (Стилизация):

1.2 Гауссов шум

Гауссовский шум относится к типу шума, функция плотности шума которого подчиняется гауссовскому распределению. Из-за математической простоты гауссовского шума в пространственной и частотной области эта модель шума (также называемая нормальным шумом) часто используется на практике. Функция плотности вероятности гауссовой случайной величины z определяется выражением:

2 Введение в сглаживание изображений

С точки зрения обработки сигнала сглаживание изображения предназначено для удаления высокочастотной информации и сохранения низкочастотной информации. Таким образом, мы можем реализовать фильтрацию нижних частот на изображении. Фильтрация нижних частот может удалить шум в изображении и сгладить изображение.

В соответствии с различными фильтрами, ее можно разделить на фильтрацию среднего, гауссову фильтрацию, медианную фильтрацию и двустороннюю фильтрацию.